Feedback system : 회로의 제어공학적 해석과 전제 조건

전자회로의 해석에는 다양한 방법이 있습니다. 우선 우리가 amplifier 나 current mirror 등의 블락을 설계하거나 해석할 때 사용하는 small-signal model 이 있죠.

Mosfet 이 saturation region 에 있을 때 mosfet은 VCCS (Voltage Controlled Current Source)로 동작하게 되어 Vds에 관계없이 Vgs 에 의해 current 가 바뀌게 됩니다. 이때 output 저항이 일정하다면 결국 input voltage 에 의해 output voltage 가 특정한 gain 값을 갖고 나오게 되죠. 특정 DC 포인트를 잡아서 small-signal parameter를 구한 후, 이 회로의 small-signal model 을 그려서 정량적으로 해석이 가능합니다.

하지만 회로가 위에 보이는 것처럼 복잡하게 된다면 과연 이 전체 회로에 대한 small-signal model 을 그려 해석하는 것이 가능할까요? (이 회로는 사실 엄청나게 복잡한 편도 아니죠) 불가능합니다. 따라서 회로의 시스템 설계자는 small-signal model 해석 뿐만 아니라 제어시스템으로 회로를 해석할 수 있어야 합니다.

 

왼쪽과 같은 간단한 common source amplifier 가 있습니다. 이 amplifier 의 gain 은 |Av| = gm1Rout 이겠죠. 따라서 이를 좀 더 간단하게 나타내면 오른쪽과 같이 나타내기도 합니다. 하지만 amplifier 의 gain 인 Av만 알면 사실 반쪽짜리 해석이나 다름 없습니다. Input frequency 에 따라 amplifier gain 의 감쇄가 일어나기 때문이죠 (이는 parasitic cap 의 영향입니다). 따라서 우리는 이러한 영향까지 고려해 라플라스 변환 형태를 사용해 제어 시스템을 사용하죠.

제어 시스템에서 해석한 amplifier 해석은 위와 같습니다. Input 을 X(s), output dmf Y(s) 라고 하면

Y(s) = H(s)*X(s) 이죠. Time domain 에서는 convolution 해야 input 에 대한 output을 알 수 있는데, Time domain 에서의 convolution 은 S-domain 에서 곱하기와 같습니다.  여기서 H(s)를 전달함수라고 하고, w0를 pole frequency 라고 하죠.

 

주저리주저리 어려운 말들을 한 것 같지만, 실제로는 s 는 frequency와 일맥상통한다고 보면 됩니다. H(s) 식을 보면 s가 0일 경우엔 분모가 1이 되어 H(s) = Av 가 됩니다. 결국 frequency가 0인 DC 영역(실제로 0Hz는 존재할 수 없으니 보통 1Hz로 봅니다) 에서는 우리가 처음 해석한 대로 gain 이 Av 인 amplifier입니다. 하지만 frequency가 점점 커짐에 따라(s가 점점 커지면) 분모가 커지게 되고 결국 gain 이 작아지게 됩니다.

이러한 라플라스 변환을 이용해 위와 같은 feedback system 을 꾸밀 수도 있습니다. 그리고 간단한 식 전개만 해서 전달함수를 구해 좀 더 회로를 쉽게 해석할 수 있죠. 물론 feedback system 을 이용해 델타시그마 ADC, PLL 등을 해석하게 되면 해석이 점점 어려워지게 됩니다. 초반에 시스템에 대한 이해를 단단히 다진다면 나중에 편할 수 있겠죠.

 

 

제어 시스템 해석을 위한 전제 조건

마지막으로 제어 해석을 위한 전제조건을 알아보고 마치겠습니다.

 

강력한 해석 도구인 제어공학을 사용하려면 먼저 회로가 linear 해야 합니다. 회로가 linear 하지 않는다면 input이 변할 때 이에 따른 output에 대한 예측이 어긋나게 됩니다. Vin 에 대한 Vout 의 함수가 이차함수여도 충분히 예측 가능하지 않냐? 라고 물으실 수도 있지만, linearity 가 보장되어 있지 않는다면 라플라스 변환 자체가 불가능하죠. 

회로가 linear 해야된다는 조건을 위해 전제되어야 하는 조건들이 있죠. Input 의 크기가 input dynamic range를 초과하면 안된다, 회로가 saturation 영역에 있어야 한다 등등. 모두 다 linearity 를 보장하기 위한 조건입니다.