MOS differential pair : 세가지 분석으로 완벽하게 파헤치기

오늘은 MOS differential pair 를 3가지 관점의 분석을 통해 완벽하게 파헤쳐 보도록 하겠습니다. 대부분 common-mode noise 를 없애기 위해 그리고 input dynamic range 를 넓히기 위해 등 다양한 이유로 differential pair 를 사용하는 것은 알고 있지만 이를 정확하게 분석해본 경험은 잘 없을 겁니다. 실제 회로를 설계하는 데는 크게 의미가 없다고 생각하는 분들도 계시겠지만 탄탄하게 기초 지식을 쌓아두면 항상 큰 도움이 됩니다.

3 가지 관점은 Qualitive analysis, Large-signal analysis, Small-signal anlaysis 로 하겠습니다. 분석은 통일성을 위해 모두 위의 똑같은 회로를 가지고 분석하는 걸로 해보죠.

 

1. Qualitive analysis

Qualitive 분석을 위해 먼저 input 에 똑같은 전압인 Vcm 을 넣어준다고 가정해봅시다. 이 input 전압은 common mode voltage 입니다.

이 때 M1 과 M2 는 똑같은 sizing 으로 되어있으므로 이론적으로 같은 양의 전류를 흘립니다. 따라서 각각에 흐르는 전류는 source current 의 절반인 Iss/2 이죠. 이를 통해 M1 과 M2의 drain 전압인 Vx 와 Vy를 구할 수 있습니다.

이 때 모든 mosfet은 saturation 영역에 있으므로 mosfet의 current 공식에 값을 넣고 식을 전개하면 위와 같은 식을 얻을 수 있습니다. (Saturation 영역에 있기 위한 조건으로 아래 식을 꼭 만족해야 합니다) 이를 euqilibruim overdrive voltage 라고 합니다. M1과 M2는 같은 overdrive voltage 를 갖고 같은 전류를 흘리죠.

이번엔 input 이 한 쪽으로만 몰려서 적용된다고 가정해봅시다. M1으로만 높은 전압이 가해진 경우에는 M2는 꺼지게 되고 M1에 Iss 전류가 다 흐르게 됩니다. 반대의 경우에는 M2에 Iss 전류가 흐르고 M1은 꺼지게 되겠죠. 이 때의 Vx, Vy를 계산해보면 위와 같이 나옵니다. 이를 통해서 우리는 양 극단의 input 전압과 common mode input voltage를 넣었을 때의 전류 값을 알 수 있습니다.

Current 변화량은 voltage 변화량에 transconductance 를 곱한 값이므로 오른쪽과 같이 표시되고, 결국 각 지점에서의 transconductance 를 구하면 왼쪽 그래프에서의 기울기를 나타내죠. Input voltage difference 에 따른 current 그래프는 왼쪽과 같습니다.

결국 common mode voltage 를 유지한 채 voltage input 이 서로 다른 방향으로 voltage difference 가 가해진다고 하면 Vx와 Vy의 미소 변화량은 -2gmRddelta(V) 이고 이를 통해 이득 Av = -gmRd 입니다. 

 

이 Qualitive 분석을 통해서 input voltage difference 에 따른 current 변화량을 알 수 있고 mos differential pair의 이득 또한 알 수 있습니다. 하지만 실제로 input voltage 가 어느정도 차이날 때 한쪽에 Iss 의 전류가 흐르고 나머지 mosfet은 꺼지는지 등의 여부를 알 수 없죠. 그래서 이번에는 Large-signal analaysis를 해보겠습니다.

 

 

 

2. Large-signal analysis

위와 같은 모델을 가정하고 Large-signal model 분석을 해보겠습니다. 먼저 전류식으로부터 Vgs 에 대한 식을 전개해서 유도할 수 있죠. 그 식은 위에 보이는 것 과 같습니다. 여기서 회로에서 구할 수 있는 식들에 위 식을 대입하고 전개하면 아래와 같습니다.

시간이 충분하신 분들 그리고 회로에 대해 완벽한 이해가 있으면 좋겠다는 분들은 한 번 직접 전개를 해보시면 좋을 것 같습니다. 여기서 맨 마지막 식인 Id1 - Id2 식을 보게 된다면 Vin1 이랑 Vin2 가 같을 때 Id1 - Id2 = 0 이 됩니다. 하지만 루트 식 안을 보게 된다면 (Vin1 - Vin2)^2 d이 4Iss/(un*Cox*W/L) 과 같을 때 또한 0이 되버리죠. 이는 우리가 그 앞전에서 봤던 qualitive analysis에서는 도저히 나올 수 없는 분석입니다. Vin1 = Vin2일 때만 Id1 = Id2 이기 때문이죠. 또한 (Vin1-Vin2)^2 이 왼쪽 term 보다 더 크게 된다면 루트 안 값이 음수가 되어 허수가 나오게 되죠.

 

결국 여기서 우리는 Vin1 - Vin2 가 커짐에 따라 어떤 특정 지점에서 M1 혹은 M2 가 꺼지는 것을 알 수 있습니다. 그 전압은 바로 Vgs = Vth 일 때죠. 따라서 우리는 위와 같은 식을 다시 얻어낼 수 있습니다. 여기서 구한 값들을 다시 정리하면 아까 그린 qualitive analysis 그래프를 훨씬 더 정교하게 그릴 수 있죠.

위와 같습니다. 이는 그 전에 qualitive analysis 보다 훨씬 더 reasonable 한 그래프입니다. M1 혹은 M2 가 언제 turn-off 되는지를 잘 고려했기 때문이죠.

 

 

2. Small-signal analysis

마지막으로 small-signal analysis 를 해보겠습니다. 아까 Large-signal model analysis 에서 구한 식을 이용해보겠습니다. 여기서 우리는 small-signal analysis 를 하기 때문에 Vin1-Vin2 가 매우 작다고 가정할 수 있습니다. Vin1-Vin2 도 매우 작은데 1보다 작은 값을 제곱하면 더 작아지기 때문이죠. 그럼 아래와 같은 식을 얻을 수 있습니다.

여기서 얻을 수 있는 게 만약 input 전압의 차이가 매우 작다면 Output 이 input 에 비례해 변하는 것입니다. 즉 linear 한 output 이 나온다는 말이죠. 이런 아주 작은 input 에 대해 tail current Iss 가 constant하게 남아있는 지를 보기 위해 아래와 같은 식을 세워봅시다.

위와 같은 식을 구해서 아래와 같은 small signal model 에서 식을 전개해본다면 결국 vp = 0 이 나옵니다.

결국 node P는 AC 성분이 없는 node 로 볼 수 있죠. Small-signal model 에서 AC 성분이 없는 node 는 virtual ground 로 볼 수 있습니다. 따라서 우리는 (a) 를 아래 (b) 와 같이 그릴 수 있죠. 결국 differential pair 에 대한 small-signal model 은 람다 성분이 없는 한 아래 (b) 와 같이 그릴 수 있습니다.

 

 

 

위 세가지 분석을 완벽히 이해할 수 있으면 회로에 있어서 상당한 이해를 갖춘 것이나 마찬가지입니다. 탄탄한 이해를 통해 회로 지식을 쌓으면 더 높고 견고하게 쌓을 수 있으므로 천천히 곱씹어서 공부해보시길 바랍니다.

 

 

이상입니다.